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miage_epreuve:interro_finale_a

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ;;# "It is a part of probability that many improbabilities will happen." ;;# ;;# Aristotle ;;# ---- ===== Sujet type de contrôle continu du 28/02/2017 ===== //Il va sans dire qu'une réponse non justifiée n'a que peu de valeur ...// ==== Le jeu de la vie ==== Nous allons nous pencher sur une variante du jeu de la vie. On considère des organismes unicellulaires appartenant à deux espèces rivales 0 ou 1. Des individus de l'espèce 0 ou 1 sont situés sur un point d'une grille carrée $N \times N$, //avec// $N$ //pair//. Voici un exemple avec $N = 10$. $$ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$ Un individu est menacé par ses voisins des cellules //nord//, //sud//, //est// et //ouest// -- on ne prend pas en compte les cellules voisines "en coin". On s'intéresse à l'évolution de la grille sachant qu'elle évolue ainsi: * A chaque top d'horloge, la probabilité qu'un individu soit remplacé par un individu de l'espèce rivale est proportionnelle au nombre de voisins de l'espèce rivale en présence. * En d'autres mots, si $k$ voisins sont de l'espèce rivale, on a probabilité $k/4$ que l'individu soit remplacé par un individu de l'espèce rivale. * Il faut finasser pour les cellules qui sont sur les bords. * On considérera qu'une cellule du bord a comme voisin la cellule qui est à l'opposé de la grille, comme si on avait scotcher le bords gauches et droits de la grille pour former un cylindre, qu'on avait ensuite enroulé comme un beignet. Une transition possible sur une grille $4 \times 4$ est, par exemple: $$ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} \qquad \to \qquad \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$ --- On modélise ce "jeu de la vie" par une chaîne de Markov. 1. Quels sont les états de la chaîne. 2. Combien d'états cette chaîne comporte t-elle ? 3. Décrivez au mieux la fonction de transition. Sans donner les probabilités, indiquez comment procéder pour les calculer. --- Considérons une configuration $C$ de la grille où les espèces alternent en ligne et en colonne: $$ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \end{matrix} $$ 4. Donnez l'unique autre configuration $C'$ vers laquelle on peut aller depuis celle qui est donnée dans la figure. 5. Vers quelle(s) configuration(s) peut-on aller depuis $C'$ ? 6. Cette chaîne de Markov ne possède pas une distribution stationnaire unique. Pourquoi ? 7. Donnez //trois// distributions stationnaires de cette chaîne. Justifiez vos affirmations. ---- ==== Phosphate ==== On modélise par une chaîne de Markov la diffusion du phosphate dans l'environnement en l'observant sur une parcelle délimitée. On fait l'hypothèse que les molécules de phosphate se trouvent en différents endroits selon un //processus de diffusion//, et qu'elles sont présentes: * soit dans le sol, * soit dans l'herbe, * soit absorbées par du bétail, * soit sorties de la parcelle. On estime que les quantités en présence dans le sol ($S$), l'herbe ($H$), le bétail ($B$) ou hors de la parcelle ($P$) varient dans le temps et sont liées par les équations: \begin{eqnarray*} S_{k+1} &=& 0.6 S_k + 0.1 H_k + 0.75 B_k + 0.01 P_k\\ H_{k+1} &=& 0.3 S_k + 0.4 H_k\\ B_{k+1} &=& 0.5 H_k + 0.2 B_k\\ P_{k+1} &=& 0.1 S_k + 0.05 B_k + 0.99 P_k \end{eqnarray*} --- 1. A quoi voit-on (dans le système d'équations) que le modèle tient compte des échanges possibles entre la parcelle et l'environnement extérieur (l'écosystème se trouvant //hors// de la parcelle observée ? 2. Quels sont les états de la chaîne de Markov décrite par ce système d'équations ? 3. Donnez la matrice de transition de la chaîne. 4. Donnez une représentation graphique (un graphe) de cette chaîne. 5. Comment peut-on procéder pour donner une répartition stable du phosphate dans le sol, l'herbe et le bétail occupant la parcelle (selon ce modèle) ? 6. Comment doit-on modifier le système d'équations de manière à ne pas tenir compte de ces interactions (aucune molécule n'entre dans la parcelle depuis l'environnement extérieur) ? 7. Quel incidence cela a t-il sur le graphe représentant la chaîne, et sur la matrice de transition ? 8. Que prédit maintenant ce modèle ? --- [[miage:processus_stoch_simulation|Retour à la page d'accueil du cours]]

miage_epreuve/interro_finale_a.txt · Last modified: 2017/02/20 21:55 by melancon