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miage_epreuve:interro_finale_b

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ;;# "It is a part of probability that many improbabilities will happen." ;;# ;;# Aristotle ;;# ---- ===== Sujet type de contrôle continu du 28/02/2017 ===== //Il va sans dire qu'une réponse non justifiée n'a que peu de valeur ...// ==== Echelles et serpents ==== Nous allons nous intéresser à un jeu, celui des échelles et des serpents, ou comme sur la figure, des échelles et des flèches. Un joueur lance un dé et avance son pion du nombre de cases correspondant. S'il y trouve une échelle, il grimpe à la case où le mène l'échelle. S'il y trouve une flèche, il suit la flèche qui le fait reculer. Si pas d'obstacle, le joueur reste sur la case. {{ miage:snakes-and-ladders.png?direct&600 |}} Si on joue en solitaire (un seul joueur), on peut modéliser le jeu comme une chaîne de Markov. --- Expliquez pourquoi: 1. Donnez l'ensemble des états de la chaîne. 2. Décrivez ces transitions de manière la plus synthétique possible (pas la peine de donner la matrice). 3. Quelle est la distribution stationnaire de cette chaîne ? 4. Ecrivez un programme python qui réalise cette chaîne de Markov et simule le jeu à un seul joueur. --- On va changer le jeu à un seul joueur: lorsqu'il atteint la dernière case, il repart vers la case de départ. Cela permet de jouer à plusieurs: celui qui gagne étant celui qui est passer le plus de fois par la case finale (la case 34). Le jeu s'arrête lorsque tout le monde en a marre, mais on peut jouer autant que l'on veut, poursuivre la partie le lendemain et jouer la même partie sur $\ldots$ plusieurs années (!). Pris isolément, le parcours de chaque joueur peut tre modélisé par une chaîne de Markov (le jeu du voisin n'a en effet pas d'incidence sur le vôtre, à la différence du jeu de l'oie). En quoi cette chaîne diffère t-elle de la précédente ? 5. Quelles sont ses similarités et différences au niveau des états et des transitions ? 6. Quelle est la distribution stationnaire de cette chaîne ? 7. Quelle incidence cela a t-il sur le jeu à plusieurs (que peut-on dire d'une partie qui durerait des années où les joueurs jouent plusieurs heures par jour à lancer les dés et à faire avancer les pions). 8. Modifiez votre programme python pour réaliser cette chaîne de Markov et simuler le jeu. ---- ==== Montez le chauffage ==== On dispose dans une maison individuelle de deux systèmes de chauffage, l'un de base, et l'autre d'appoint. On dira qu'on est dans l'état B si seul le chauffage de base fonctionne, et dans l'état A si les deux systèmes fonctionnent. Si un jour on est dans l'état B, on estime qu'on y reste le lendemain avec une probabilité 1/2 ; en revanche, si on est dans l'état A, le lendemain la maison est chaude, et l'on passe à l'état B avec une probabilité 3/4. Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne l'état du système au jour $n$. 1. La suite $(X_n)_{n \geq 0}$ peut être modélisée par une chaîne de Markov: donnez son //espace d'états//, déterminez sa //matrice de transition// et son //graphe//. 2. Si on est dans l'état B un dimanche, quelle est la probabilité d'être dans le même état le mardi suivant ? 3. Montrer que si un jour on se trouve dans l'état B avec une probabilité 3/5, alors il en est de même tous les jours qui suivent. 4. Chaque journée dans l'état B coûte $1.5\,€$, et dans l'état A coûte $2\,€$. Chaque transition de l'état B à l'état A ou inversement coûte $0,5\,€$. Calculer le coût moyen d'une journée dans la situation précédente. --- [[miage:processus_stoch_simulation|Retour à la page d'accueil du cours]]

miage_epreuve/interro_finale_b.txt · Last modified: 2017/02/26 12:43 by melancon