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miage_solution:cc_1

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ;;# "It is a part of probability that many improbabilities will happen." ;;# ;;# Aristotle ;;# ---- ===== Solution: Epreuve de contrôle continu du 31/01/2017 ===== Consultez aussi la page rapportant des **[[miage_solution:cc_1_erreurs_commmunes|perles]]**, des réponses qu'on aurait préféré ne pas lire ... ==== Entretien et pannes ==== On modélise l'état de fonctionnement d'une machine en usine d'une journée sur l'autre. Cette machine peut être soit en bon (**!**), moyen (**~**) ou mauvais (**#**) état de marche, ou carrément en réparation (R). * Lorsque la machine est en fonctionnement, son état peut demeurer stable ou se dégrader. * Lorsqu'on constate un mauvais état de marche, la machine est envoyée en réparation le jour suivant (et remis en bon état), puis relancer en production dès le surlendemain. * 90% du temps, une machine en bon état le reste. * Une machine en état moyen reste dans cet état 80% du temps. ---- 1. Donner une description de la chaîne de Markov: préciser ses états et sa matrice transition. --- Le graphe représentant la chaîne, dont les états sont $\{!, \sim, \#, R\}$, est: {{ miage:machines.jpeg?nolink&300 |}} La matrice de transition de cette chaîne est: $$ \left[ \begin{matrix} 0.9 & 0.1 & 0 & 0\\ 0 & 0.8 & 0.2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] $$ ---- 2. Donner les états récurrents, absorbants et transients de cette chaîne de Markov. La réponse à cette question exige de se rapporter à la définition précise de ce que sont des états absorbants, récurrents ou transients -- il faut éviter de s'appuyer sur une intuition trop vague ou de ce qu'//évoquerait// ces mots ... [[miage:cours_convergence_suite|Ces définitions sont données au cours en quatrième semaine.]] Rappelons ici qu'un état est //récurrent// si on ne cesse d'y passer lors d'une marche aléatoire (qui durerait indéfiniment) ([[miage:cours_convergence_suite|voir la définition précise]]). C'est bien le cas des quatre états de la chaîne, essentiellement à cause de la présence du cycle qui assure de la probabilité de passer indéfiniment par chacun d'eux. ---- 3. La chaîne de Markov possède t-elle une distribution stationnaire ? Tous les états de la chaîne sont récurrents. Le graphe de la chaîne possède une seule composante //fortement connexe//: tout sommet est accessible depuis tous les autres. Par conséquent, sa distribution stationnaire (il en existe toujours au moins une) est //unique//. ---- 4. Désignons par $d_!$, $d_~$, $d_\#$ et $d_R$ le nombre de jours (en % d'une année, disons) où un appareil est en état de fonctionnement bon, moyen ou mauvais, ou en réparation. Donnez un système d'équations sur ces quantités dont la solution est la distribution stationnaire de la chaîne de Markov décrite précédemment. <color red/#cdcdcd>La formulation de cette question est à vrai dire trop vague. Elle est passée au rang de question "bonus" dans la correction.</color> Désignons par $!_n, \sim_n, \#_n$ et $R_n$ la proportion de temps pendant laquelle une machine est dans l'un des états bon: !, moyen $\sim$, mauvais \# ou en réparation $R$ après $n$ semaines de fonctionnement. Ces quantités indicées par $n$ répondent au système d'équation: $$ !_{k+1} = 0.9 \ !_k + R_k\\ \sim_{k+1} = 0.1 \ !_k + 0.8 \ \sim_k\\ \#_{k+1} = 0.2 \ \sim_k\\ R_{k+1} = \#_k $$ ---- 5. Modifiez cette chaîne de manière à pouvoir modéliser le cas où une machine reste en réparation sur deux jours (avec une proportion de 20% des interventions de réparation se déroulant sur deux jours). Donnez le graphe et la matrice de transition de cette nouvelle chaîne. {{ miage:machines2.jpeg?nolink&500 |}} On ajoute un état qui matérialise le deuxième jour de réparation, venant de l'état réparation avec probabilité 0.2. Une trasition de probablité 1 ramène ensuite sur l'état "bon". ==== Marche aléatoire ==== On considère la chaîne de Markov suivante, dont on donne le graphe: {{ miage:biparti.jpeg?nolink&400 |}} * Les états placés dans la partie haute du diagramme sont représentés pas des sommets hachurés; les états placés dans la partie basse du diagramme sont représentés pas des sommets pleins et gris. * Les transitions qui vont d'un sommet du bas vers un sommet du haut sont toutes de probabilités 1/2; les transitions qui vont d'un sommet du haut vers un sommet du bas sont toutes de probabilités 1/4. On effectue sur ce graphe une marche aléatoire de $N$ pas. Combien de fois la marche passera t-elle par l'un ou l'autre des sommets hachurés (lorsque $N$ devient très grand) ? Justifiez votre réponse. ---- On voit, de manière intuitive, que la marche oscillera constamment du haut vers le bas, et on comprend que la marche sera la moitié du temps sur un sommet hachuré (haut), donc $N/2$ fois si la marche compte $N$ pas (lorsque $N$ est pair). Plus précisément, la chaîne de Markov qui est donné correspond à une marche aléatoire sur le graphe: {{ miage:biparti_simple.jpeg?nolink&400 |}} En effet, chaque arête est dédoublée dans chacun des deux sens, et les probabilités qui sont données correspond à la fraction $\frac{1}{\deg_G(u)}$ pour chacun des sommets $u$ du graphe. Or, une marche aléatoire sur un graphe (avec ces transitions et ces probabilités de transition) converge vers une distribution stationnaire dont les valeurs sont proportionnelles au degrés des sommets. Ici, la somme des degrés est de 16; les sommets des degrés hachurés sont chacune de 4, on a donc $\frac{4 + 4}{16} = \frac{1}{2}$ d'être sur un sommet hachuré (lorsque la marche dure ...). On sera donc $N/2$ fois sur les sommets hachurés. --- [[miage_epreuve:epeuve_cc_mi_semestre|Retour au sujet de l'épreuve]] [[miage:processus_stoch_simulation|Retour à la page d'accueil du cours]]

miage_solution/cc_1.txt · Last modified: 2017/02/26 12:43 by melancon