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miage_solution:miage_solution_valeur_bourse

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice -- Valeur en bourse ==== Soit $a \in (0, 1/2)$ un nombre réel. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut //monter//, rester //stable// ou //baisser//. Dans un modèle mathématique, on considère que : * le premier jour le titre est stable * si un jour $n$ le titre monte, le jour $n + 1$; il montera avec probabilité $1-2a$, restera stable avec probabilité $a$ et baissera avec probabilité $a$ * si un jour $n$ le titre est stable, le jour $n + 1$ il montera avec probabilité $a$, restera stable avec probabilité $1-2a$ et baissera avec probabilité $a$ * si un jour $n$ le titre baisse, le jour $n + 1$ il montera avec probabilité $a$, restera stable avec probabilité $a$ et baissera avec la probabilité $1-2a$ On note $M_n$ (resp. $S_n$, resp. $B_n$) l'événement //le titre donné monte// (resp. reste stable, resp. baisse) le jour $n$. On pose $p_n = P(M_n)$, $q_n = P(S_n)$ et $r_n = P(B_n)$. * a) Donnez une chaîne de Markov qui décrit cette situation, représentez-la graphiquement. * b) Que vaut $p_n + q_n + r_n$ ? En déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $p_n$ et $q_n$, * c) Expliciter $p_{n+1}$ (resp. $q_{n+1}$) en fonction de $p_n$, $q_n$, $r_n$, * d) En déduire $p_n$, $q_n$ puis $r_n$, * e) Donner la limite de ces trois suites et interpréter le résultat. --- On définit une suite de variables aléatoires $X_n$ ($n \geq 0$) en convenant de $X_n = -1$ lorsque la valeur baisse, $X = 1$ lorsqu'elle reste stable et $X_n = 1$ lorsqu'elle monte. Par hypothèse, on a: \begin{eqnarray*} P(X_{n+1} = 1 | X_n = 1) = 1-2a & P(X_{n+1} = 0 | X_n = 1) = a & P(X_{n+1} = -1 | X_n = 1) = a\\ P(X_{n+1} = 1 | X_n = 0) = a & P(X_{n+1} = 0 | X_n = 0) = 1-2a & P(X_{n+1} = -1 | X_n = 0) = a\\ P(X_{n+1} = 1 | X_n = -1) = a & P(X_{n+1} = 0 | X_n = -1) = a & P(X_{n+1} = -1 | X_n = -1) = 1-2a \end{eqnarray*} On a donc affaire à une chaîne de Markov à trois états. Les probabilités cherchées sont $P(X_n = 1) = p_n$, $P(X_n = 1) = q_n$, $P(X_n = 1) = r_n$. Pour obtenir les récurrences, on peut procéder de manière analogue à ce qu'on a fait pour la chaîne de Markov à deux états. --- [[miage:td_analytique|Retourner au TD]]

miage_solution/miage_solution_valeur_bourse.txt · Last modified: 2017/01/08 19:32 by melancon