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miage_solution:semaine1_chebyschev

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice - Inégalité de Chebyschev ==== On répète la même expérience $N$ fois (tirages aléatoires à pile ou face indépendants): $X_1$, $X_2$, ..., $X_N$. On forme la variable aléatoire $X = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N}$, et on s'intéresse à l'espérance $\mathbb E(X)$ dont la valeur théorique est ici 0.5. La variance est elle égale à $\mathbb V(X) = \sigma^2 = 0.25$. L'inégalité de Chebyschev affirme: $$P(|\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N} - \mathbb E(X)| > \alpha) < \frac{\sigma^2}{N^2 \alpha^2}$$ * Lorsqu'on lance la pièce $N$ fois, la probabilité de s'écarter de plus de $\alpha = 0.05$ de la moyenne est au plus égale à $\frac{\sigma^2}{N^2 \alpha^2}$ = \frac{100}{N^2}$. * Si on lance la pièce 100 fois, la probabilité de s'écarter de plus de 0.05 est au plus de 1%. Quelle valeur de $N$ doit-on prendre pour qu'un écart à la moyenne de 0.1 n'arrive qu'avec probabilité $p$ ? C'est ce qu'on peut vérifier de manière empirique. * On effectue un grand nombre de fois, disons $M$ * On effectue $N$ lancers à pile ou face * On calcule $|\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N} - \mathbb E(X)|$ * Si on s'écarte de la moyenne théorique de plus de 0.05, on incrémente un compteur ''ecart'' * Le ratio ''ecart''$/M$ doit être borné par $\frac{\sigma^2}{N^2 \alpha^2}$. --- [[miage:td_intro|Retourner au TD]]

miage_solution/semaine1_chebyschev.txt · Last modified: 2017/04/12 11:51 by melancon