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miage_solution:solution_bonus_malus_td

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice -- Bonus Malus ==== Décrivez la chaîne de Markov de la simulation Bonus/Malus. Plus précisément, donnez: * Les états de la chaîne * La matrice de transition de la chaîne * Le graphe de cette chaîne de Markov (dessinez-le) * Imaginons qu'un assuré ait un coefficient coefficient bonus-malus de 0.5 à l'année $k$. Quelle est la probabilité qu'il ait ce même coefficient 5 ans plus tard ? * Il s'agit moins de fournir un chiffre (il le faut tout de même) que d'expliquer comment on raisonne pour arriver au résultat. --- **Solution** * Les états de la chaîne correspondent aux différentes classes de tarifs. Dans l'[[miage:cours_intro|exemple développé au début du cours]], il y a $n = 15$ classes. La chaîne comporte donc 15 états que nous numéroterons de 0 à 14 (on les désignera aussi par les classes de tarif "0.5", "0.51", etc.). * Le calcul de la matrice de transition $M = (m_{i,j})_{n \times n}$ exige de pouvoir calculer les probabilités d'avoir $k$ sinistres. Ces probabilités $P(Y = k)$ sont données par une variable aléatoire $Y$ suivant une distribution de Poisson de paramètre $\mu$. $$P(Y = k) = \frac{\mu^k}{k!} e^{—\mu}$$ L'entrée $m_{i,j}$ correspond à la probabilité d'une transition de l'état $i$ à l'état $j$. Ces probabilités sont non-nulles exactement lorsque: ^ Valeurs relatives de $i$ et $j$ ^ Probabilité ^ ^ | $i = 0$, $j = 0$ | $P(Y = 0)$ | Un assuré reste en classe de tarif minimal si pas de sinistre. | | $j = i-1$ | $P(Y = 0)$ | Il n'y a pas de sinistre, l'assuré passe à la classe de tarif inférieure | | $j > i$ | $P(Y = j-i)$ | L'assuré passe à une classe de tarif supérieure (en fonction de nombre de sinistres qu'il a connu). Cette probabilité ne vaut que si $j < 14$ | | $j = 14 > i$ | $1 - \sum_{k=0}^{13-i} P(Y = k)$ | L'assuré repasse en classe de tarif maximale. | | $i = 14$ | $m_{14,13} = P(Y = 0)$, $m_{14,14} = 1 = P(Y = 0)$ | Un assuré reste en classe de tarif maximal si sinistre. | N.B. Nous noterons $p_k = P(Y = k)$ (pour faire plus court et permettre d'afficher la matrice au complet). $$ \left[ \begin{matrix} p_0 & p_1 & p_2 & p_3 & p_4 & \cdots & p_{13} & 1 - \sum_{k=0}^{13} p_k\\ p_0 & 0 & p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_{12} & 1 - \sum_{k=0}^{12} p_k\\ 0 & p_0 & 0 & p_1 & p_2 & \cdots & p_{11} & 1 - \sum_{k=0}^{11} p_k\\ & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & & 0 & p_0 & 0 & 1 - p_0\\ 0 & 0 & & \cdots & & 0 & p_0 & 1 - p_0\\ \end{matrix} \right] $$ La représentation du graphe sous-jacent à la chaîne de Markov contient beaucoup (trop) d'arcs pour être dessiné de manière lisible. On peut toutefois en donner une description synthétique: {{ miage:bonus_malus_graphe.jpeg?nolink&500 |}} --- La probabilité cherchée (aller de l'état 0 à l'état 0 en 5 pas) est $P(X_5 = '0.5' | X_0 = '0.5')$ et s'obtient: * Soit en calculant la puissance 5ème de la matrice; la probabilité est alors l'entrée $m^{(5)}_{0,0}$ * Soit en énumérant les chemins de longueur 5 allant de l'état 0 à lui-même, et en faisant la somme de leurs //poids//, c'est ce que nous allons faire ici. * Puisqu'il s'agit d'aller de l'état 0 à lui-même, on peut décrire les chemins en notant la longueur des "sauts" effectués d'un état à l'autre. Un "saut" de -1 correspond au passage à une classe tarif inférieure (aller vers l'état voisin à gauche). Un saut de 0 est possible si on est sur l'état 0.5 et qu'on emprunte la boucle. * Par exemple, la suite [4, -1, -1, -1, -1] correspond au chemin allant de l'état (classe de tarif) 0.5 à l'état 0.59 (4 voisins plus à droite), puis revenant à l'état 0.5 en faisant quatre pas unitaires vers la gauche; la suite [0, 3, -1, -1, -1] correspond au chemin restant sur l'état 0.5 (boucle), allant à l'état 0.56, puis revenant vers l'état 0.5 en faisant trois pas unitaires vers la gauche. * Les chemins possibles sont donc: ^ Chemin ^ Probabilité ^ | [4, -1, -1, -1, -1] | $p_4 \cdot p_0^4$ | | [3, -1, -1, -1, 0] | $p_3 \cdot p_0^4$ | | [0, 3, -1, -1, -1] | $p_0 \cdot p_3 \cdot p_0^3 = p_3 \cdot p_0^4$ | | [2, 1, -1, -1, -1] | $p_2 \cdot p_1 \cdot p_0^3$ | | [1, 2, -1, -1, -1] | $p_1 \cdot p_2 \cdot p_0^3 = p_2 \cdot p_1 \cdot p_0^3$ | | [2, -1, 1, -1, -1] | $p_2 \cdot p_0 \cdot p_1 \cdot p_0^2 = p_2 \cdot p_1 \cdot p_0^3$ | | [2, -1, -1, 1, -1] | $p_2 \cdot p_0^2 \cdot p_1 \cdot p_0 = p_2 \cdot p_1 \cdot p_0^3$ | | [1, -1, 2, -1, -1] | $p_1 \cdot p_0 \cdot p_2 \cdot p_0^2 = p_2 \cdot p_1 \cdot p_0^3$ | | [2, -1, -1, 0, 0] | $p_2 \cdot p_0^4$ | | [0, 0, 2, -1, -1] | $p_0^2 \cdot p_2 \cdot p_0^2 = p_2 \cdot p_0^4$ | | [0, 2, -1, -1, 0] | $p_0 \cdot p_2 \cdot p_0^3 = p_2 \cdot p_0^4$ | | [1, 1, -1, -1, 0] | $p_1^2 \cdot p_0^3$ | | [0, 1, 1, -1, -1] | $p_0 \cdot p_1^2 \cdot p_0^2 = p_1^2 \cdot p_0^3$ | | [1, -1, 1, -1, 0] | $p_1 \cdot p_0 \cdot p_1 \cdot p_0^2 = p_1^2 \cdot p_0^3$ | | [1, -1, 0, 1, -1] | $p_1 \cdot p_0^2 \cdot p_1 \cdot p_0 = p_1^2 \cdot p_0^3$ | | [0, 1, -1, 1, -1] | $p_0 \cdot p_1 \cdot p_0 \cdot p_1 \cdot p_0 = p_1^2 \cdot p_0^3$ | | [1, -1, 0, 0, 0] | $p_1 \cdot p_0^4$ | | [0, 1, -1, 0, 0] | $p_0 \cdot p_1 \cdot p_0^3 = p_1 \cdot p_0^4$ | | [0, 0, 1, -1, 0] | $p_0^2 \cdot p_1 \cdot p_0^2 = p_1 \cdot p_0^2$ | | [0, 0, 0, 1, -1] | $p_0^3 \cdot p_1 \cdot p_0 = p_1 \cdot p_0^4$ | | [0, 0, 0, 0, 0] | $p_0^5$ | La probabilité cherchée est égale à la somme des probabilités de ces chemins. Lorsque $\mu = 0.5$, on peux préciser la valeur numérique de cette probabilité en prenant: ^ $k$ ^ $P(Y = k)$ ^ | 0 | $\sim$ 0.6065 | | 1 | $\sim$ 0.3033 | | 2 | $\sim$ 0.0758 | | 3 | $\sim$ 0.0126 | | 4 | $\sim$ 0.0016 | et on trouve donc $m^{(5)}_{0,0} \sim 0.4089$. --- [[miage:td_graphe_convergence|Retourner au TD]]

miage_solution/solution_bonus_malus_td.txt · Last modified: 2017/02/26 12:43 by melancon