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miage_solution:solution_compagnieaerienne

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice -- Compagnie aérienne ==== Une compagnie aérienne étudie la réservation sur l'un de ses vols. Une place donnée, libre le jour d'ouverture de la réservation, voit son état évoluer chaque jour jusqu'à la fermeture de la réservation de la manière suivante: * si la place est réservée le jour $k$, elle le sera encore le jour $k + 1$ avec la probabilité 9/10 * si la place est libre le jour $k$, elle sera réservée le jour $k + 1$ avec la probabilité 4/10 Pour $k$ entier positif, on note $r_k$ la probabilité que la place soit réservée le jour $k$. On suppose que $r_0 = 0$. * a) Exprimer $r_{k+1}$ en fonction de $r_k$ * b) En déduire l'expression explicite de $r_k$ en fonction de $k$ et calculer $\lim_{n \to \infty} r_n$ --- On définit une suite de variables aléatoires $X_k$ ($k \geq 0$) qui donne la probabilité que la place soit libre. On convient que $X_k = 0$ correspond à //place libre// et $X_k = 1$ au cas contraire. Par hypothèse, on a: $$P(X_{k+1} = 0 | X_k = 0) = 6/10, \quad P(X_{k+1} = 0 | X_k = 1) = 1/10$$ De même, $$P(X_{k+1} = 1 | X_k = 0) = 4/10, \quad P(X_{k+1} = 1 | X_k = 1) = 9/10$$ On est donc ramener au calcul des probabilités de la chaîne de Markov à deux états avec des valeurs particulières pour $p$ et $q$, ce qui permet de conclure à $\lim_{n \to \infty} P(X_n = 1) = \frac{4/10}{1/10 + 4/10} = 4/5$. --- [[miage:td_analytique|Retourner au TD]]

miage_solution/solution_compagnieaerienne.txt · Last modified: 2017/01/28 09:30 by melancon