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miage_solution:solution_guepe

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice -- La guêpe ==== Deux pièces A et B sont reliées entre elles par une porte ouverte. Seule la pièce B possède une issue vers l'extérieur. Une guêpe initialement dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre. Son trajet obéit aux règles suivantes: * Lorsqu'elle est en A au temps $t = n$, alors au temps $t = n + 1$, elle reste en A avec une probabilité égale à 1/3 ou elle passe en B avec une probabilité égale à 2/3, * Lorsqu'elle est en B au temps $t = n$, alors au temps $t = n + 1$, elle retourne en A avec une probabilité égale à 1/4, ou elle reste en B avec une probabilité égale à 1/2, ou elle sort à l'air libre avec une probabilité égale à 1/4. Au temps $t = 0$, la guêpe est dans la pièce A. Lorsqu'elle est sortie, elle ne revient plus. * a) Modélisez cette situation à l'aide d'une chaîne de Markov $(X_n)_{n \geq 0}$, représentez graphiquement la chaîne, * b) Calculez explicitement les distributions de probabilités des variables $X_0$, $X_1$ $X_2$, * c) Exprimez $P(X_{n+1} = A)$ et $P(X_{n+1} = B)$ en fonction de $P(X_n = A)$ et $P(X_n = B)$ (avec des notations évidentes), * d) Vérifiez que la suite $\frac{6}{10}P(X_n = A) - \frac{3}{10}P(X_n = B)$ est constante, * e) Vérifiez que la suite $\frac{4}{10}P(X_n = A) + \frac{3}{10}P(X_n = B)$ est géométrique de raison $\frac{5}{6}$, * f) En déduire l'expression de $P(X_n = A)$ et $P(X_n = B)$, * g) Montrer que pour $n \geq 2$, $P(X_n = S) = \frac{1}{4} \sum_{k = 1}^{n-1}P(X_{n-1} = B)$. En déduire $P(X_n = S)$. --- On peut modéliser cette situation par une chaîne de Markov à trois états ($A$, $B$, $S$). La matrice de transition de cette chaîne est: $$ M = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] $$ La guêpe se trouve initialement dans la pièce $A$, on a donc $X_0 = (1, 0, 0)$ (en prenant soin d'ordonner les états par $A$, $B$, $S$). Le vecteur d'état $X_1$ s'obtient de $X_0$ en appliquant la matrice $X_1 = X_0 \cdot M = (1/3, 2/3, 0)$. De même on calcule $X_2 = (5/18, 5/9, 1/6)$. Soit le vecteur d'état $X_n = (a_n, b_n, s_n)$, on a alors $X_{n+1} = (1/3 a_n + 1/4 b_n, 2/3 a_n + 1/2 b_n, 1/4 b_n + s_n)$ (où $a_n = P(X_n = A)$, $b_n = P(X_n = B)$ et $s_n = P(X_n = S)$). On peut donc écrire $a_{n+1} = 1/3 a_n + 1/4 b_n$, $b_{n+1} = 2/3 a_n + 1/2 b_n$, $s_{n+1} = 1/4 b_n + s_n$. {{ miage:guepe.png?nolink&300|}} Chaque sommet du graphe représente une pièce où peut se trouver la guêpe. On vérifie que $\frac{6}{10}P(X_n = A) - \frac{3}{10}P(X_n = B) = \frac{6}{10} a_n - \frac{3}{10} b_n$ est constante pour $n \geq 1$ par récurrence. On le vérifie pour $n = 1$. On calcule: $$ \frac{6}{10} a_{n+1} - \frac{3}{10} b_{n+1} = \frac{6}{10}(1/3 a_n + 1/4 b_n) - \frac{3}{10}(2/3 a_n + 1/2 b_n) = 0 $$ On utilise les notations $a_n = P(X_n = A)$, $b_n = P(X_n = B)$. On vérifie que $\frac{4}{10} a_1 + \frac{3}{10} b_1 = 1/3$. \begin{eqnarray*} \frac{4}{10} a_{n+1} + \frac{3}{10} b_{n+1} &=& \frac{4}{10} (\frac{1}{3} a_n + \frac{1}{4} b_n) + \frac{3}{10} (\frac{2}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n)\\ &=& \frac{5}{6} (\frac{4}{10} a_n + \frac{3}{10} b_n) \end{eqnarray*} La récurrence nous donne donc $\frac{4}{10} a_{n+1} + \frac{3}{10} b_{n+1} = \frac{5}{6}^n* 1/3$. Les deux équations considérées nous permettent donc de déduire que $a_{n+1} = \frac{5}{6}^n* 1/3$, par conséquent $\lim_{n \to + \infty} P(X_n = A) = 0$. De même, on a $b_{n+1} = 2 a_{n+1} = P(X_n = B) = \frac{5}{6}^n* 2/3$ et $\lim_{n \to + \infty} P(X_n = B) = 0$ (la guêpe sortira donc des pièces $A$ et $B$ avec certitude -- à un moment donné). On a $P(X_{n+1} = S) = 1 - P(X_{n+1} = A) - P(X_{n+1} = B) = 1 - \frac{5}{6}^n$, et on est certain que la guêpe finira par sortir à l'extérieur puisque $\lim_{n \to + \infty} P(X_n = S) = 1$. --- [[miage:td_analytique|Retourner au TD]]

miage_solution/solution_guepe.txt · Last modified: 2017/01/08 19:38 by melancon