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miage_solution:solution_kodja_markov_2_etats_exo1.1

====== Master 4TYE814U/4TYE808U MIAGE & e-MIAGE -- Processus stochastiques et simulation ====== ===== Séance de travaux dirigé ===== ==== Exercice ==== Reprenez le raisonnement et le calcul fait en cours pour montrer: \begin{equation} \label{eq:Markov2states_eq2} \lim_{n \to \infty} P(X_n = 1) = \frac{p}{p+q}. \end{equation} (il suffit d'"imiter" le calcul fait pour obtenir $\lim_{n \to \infty} P(X_n = 0)$. ---- On calcule $P(X_n=1)$ en procédant par récurrence: $$ P(X_{n+1}) = [P(X_n = 1) P(X_{n+1}=1 | X_n = 1)] + [P(X_n = 0) P(X_{n+1} = 1|X_n=0)] $$ $$ = (1-q) \cdot P(X_n = 1) + p \cdot P(X_n=0) $$ puisque les valeurs des probabilités conditionnelles sont données par la chaîne (ce sont les probabilités des transitions, les arcs du graphe). Or, $P(X_n=0) = 1 - P(X_n=1)$. Donc, l'expression calculée est égale à: $$ P(X_{n+1}) = (1 - q) \cdot P(X_n=1) + p \cdot (1 - P(X_n=1)) = (1-p-q) P(X_n = 1) + p$$ On peut maintenant déterminer le terme général de la suite qui se présente sous la forme: $r_{n+1}= a \cdot r_n + b$, avec dans notre cas $r_{n+1} = P(X_{n+1})$. La solution de ce type de récurrence est "classique". On a, * ($n=0$) $r_1= a \cdot r_0 + b$ * ($n = 1$) $r_2= a \cdot r_1 + b = a (a \cdot r_0 + b) + b = a^2 \cdot r_0 + a \cdot b + b$ * ($n = 2$) $r_3= a \cdot r_2 + b = a (a^2 r_0 + a \cdot b + b) + b = a^3 r_0 + a^2 \cdot b + a \cdot b + b = a^3 \cdot r_0 + b (a^2+a+1)$ et ainsi de suite, et on voit apparaître le terme général: * $r_{n+1} = a^{n+1} \cdot r_0 + b (a^n+a^{n-1} + + a + 1) = a^{n+1} \cdot r_0 + b \cdot \sum_{k=0}^n a^k$ * Or, si $0 \leq a < 1$, le nombre $a^n \to 0$ lorsque $n \to \infty$ et on a donc $$ \lim_{n \to \infty} P(X_{n+1}) = \lim_{n \to \infty} r_{n+1} = \frac{b}{1 - a} = \frac{p}{p+q} $$ puisqu'on obtient notre résultat en prenant $a = (1-p-q)$, $b = p$ et $r_0 = P(X_0 = 1)$. --- [[miage:td_analytique|Retourner au TD]]

miage_solution/solution_kodja_markov_2_etats_exo1.1.txt · Last modified: 2017/01/08 18:47 by melancon